Question

【题目】如图，在△ACD中，AD=9，CD=3，△ABC中，AB=AC．

（1）如图1，若∠CAB=60°，∠ADC=30°，在△ACD外作等边△ADD′

①求证：BD=CD′；

②求BD的长．

（2）如图2，若∠CAB=90°，∠ADC=45°，求BD的长．

Answer 1

【答案】（1）①详见解析；②3（2）6

【解析】

（1）①根据等边三角形的性质，可得，，由此可判定△BAD≌△CAD′，根据全等三角形对应边相等即可得出结论；②先证明∠CDD'=90°，在Rt CDD'中根据勾股定理即可求得BD；

（2）作AE⊥AD，使AE=AD，连接DE、CE，证明△BAD≌△CAE，即可得BD=CE，然后证明∠CDE=90°，根据勾股定理即可求得CE，由此可得BD．

（1）①证明：∵AB=AC，∠CAB=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC=AB=BC，

∵△ADD'是等边三角形，

∴AD=AD'=DD'=9，∠ADD'=∠DAD'=60°，

∴∠BAD=∠CAD'，

在△BAD和△CAD′中，，

∴△BAD≌△CAD′（SAS），

∴BD=CD'；

②解：∵∠ADD'=60°，∠ADC=30°，

∴∠CDD'=90°，

∴CD'===3，

∴BD=3；

（2）解：作AE⊥AD，使AE=AD，连接DE、CE，如图2所示：

则△ADE是等腰直角三角形，

∴∠ADE=45°，DE=AD=9，

∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，

即∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD=CE，

∵∠ADE=45°，∠ADC=45°，

∴∠CDE=90°，

∴CE===6，

∴BD=6．