Question

【题目】已知圆E：（x+ ）2+y2=16，点F（ ，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．（Ⅰ）求动点Q的轨迹E的方程； （Ⅱ）直线l过点（1，1），且与轨迹Γ交于A，B两点，点M满足 = ，点O为坐标原点，延长线段OM与轨迹Γ交于点R，四边形OARB能否为平行四边形？若能，求出此时直线l的方程，若不能，说明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）∵|QE|+|QF|=|EQ|+|QP|=4，且|EF|=2 ＜4， ∴点Q的轨迹是以E，F为焦点的椭圆，
设椭圆方程为 =1，则2a=4，c= ，∴a=2，b= =1．
所以点E的轨迹方程为： +y2=1．
（II）（1）当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1，显然四边形OARB是平行四边形；（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l：y=kx+m，显然k≠0，m≠0，
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（xM ， yM）．
联立方程组 ，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
∴x1+x2=﹣ ，
∵ = ，即M是AB的中点，
∴xM= =﹣ ，yM=kxM+m= ，
若四边形OARB是平行四边形，当且仅当AB，OR互相平分，
∴R（﹣ ， ），
代入椭圆方程得： + =1，即16k2m2+4m2=16k4+8k2+1，
又直线l：y=kx+m经过点（1，1），∴m=1﹣k，
∴16k2（1﹣k）2+4（1﹣k）2=16k4+8k2+1，
∴32k3﹣12k2+8k﹣3=0，即（4k2+1）（8k﹣3）=0．
∴k= ，m= ，
∴直线l的方程为y= x+ 时，四边形OARB是平行四边形，
综上，直线l的方程为x=1或y= x+ ．
【解析】（I）利用椭圆的定义即可得出E的轨迹方程；（II）讨论直线l的斜率，联立方程组，利用根与系数的关系得出M点坐标，根据平行四边形对角线互相平分得出R点坐标，代入椭圆方程化简即可得出直线l的斜率k．