Question

【题目】如图以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点F.

（1）求证：DF⊥AC；

（2）若∠ABC=30°，求tan∠BCO的值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析; (2) tan∠BCO=.

【解析】试题分析：（1）连接OD，根据三角形的中位线定理可求出OD∥AC，根据切线的性质可证明DE⊥OD，进而得证．
（2）过O作OF⊥BD，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB表示出OF、CF的长，根据三角函数的定义求解．

试题解析：证明:连接OD

∵DE为⊙O的切线, ∴OD⊥DE

∵O为AB中点, D为BC的中点

∴OD‖AC

∴DE⊥AC

(2)过O作OF⊥BD,则BF=FD

在Rt△BFO中，∠ABC=30°

∴OF= , BF=

∵BD=DC, BF=FD，

∴FC=3BF=

在Rt△OFC中，tan∠BCO=.