Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y= x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y= x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1 ， △BCE的面积为S2 ， 求 的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根据题意得A（﹣4，0），C（0，2），

∵抛物线y=﹣ x2+bx+c经过A、C两点，

∴ ，

∴ ，

∴y=﹣ x2﹣ x+2

（2）

解：①如图，

令y=0，

∴﹣ x2﹣ x+2=0，

∴x1=﹣4，x2=1，

∴B（1，0），

过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，

∴DM∥BN，

∴△DME∽△BNE，

∴ = = ，

设D（a，=﹣ a2﹣ a+2），

∴M（a， a+2），

∵B（1.0），

∴N（1， ），

∴ = = （a+2）2+ ；

∴当a=2时， 的最大值是 ；

②∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），

∴AC=2 ，BC= ，AB=5，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，

∴P（﹣ ，0），

∴PA=PC=PB= ，

∴∠CPO=2∠BAC，

∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）= ，

过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，

情况一：如图，

∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，

∴∠CDG=∠BAC，

∴tan∠CDG=tan∠BAC= ，

即 ，

令D（a，﹣ a2﹣ a+2），

∴DR=﹣a，RC=﹣ a2﹣ a，

∴ ，

∴a1=0（舍去），a2=﹣2，

∴xD=﹣2，

情况二，∴∠FDC=2∠BAC，

∴tan∠FDC= ，

设FC=4k，

∴DF=3k，DC=5k，

∵tan∠DGC= = ，

∴FG=6k，

∴CG=2k，DG=3 k，∴

∴RC= k，RG= k，

DR=3 k﹣ k= k，

∴ = = ，

∴a1=0（舍去），a2= ，

点D的横坐标为﹣2或﹣ ．

【解析】（1）根据题意得到A（﹣4，0），C（0，2）代入y=﹣ x2+bx+c，于是得到结论；（2）①如图，令y=0，解方程得到x1=﹣4，x2=1，求得B（1，0），过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，根据相似三角形的性质即可得到结论；②根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，求得P（﹣ ，0），得到PA=PC=PB= ，过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延线于G，情况一：如图，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，情况二，∠FDC=2∠BAC，解直角三角形即可得到结论．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．