Question

【题目】综合题

（1）【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=60°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为 ．
（2）【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为 ． （用含a，h的代数式表示）
（3）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
（4）【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC= ，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）
（3）

解：解：如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，

由题意知四边形ABCH是矩形，

∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，

∴EH=20、DH=16，

∴AE=EH、CD=DH，

在△AEF和△HED中，

∵ ，

∴△AEF≌△HED（ASA），

∴AF=DH=16，

同理△CDG≌△HDE，

∴CG=HE=20，

∴BI= =24，

∵BI=24＜32，

∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，

过点K作KL⊥BC于点L，

由（1）知矩形的最大面积为 ×BGBF= ×（40+20）×（32+16）=720，

答：该矩形的面积为720

（4）

如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，

∵tanB=tanC= ，

∴∠B=∠C，

∴EB=EC，

∵BC=108cm，且EH⊥BC，

∴BH=CH= BC=54cm，

∵tanB= = ，

∴EH= BH= ×54=72cm，

在Rt△BHE中，BE= =90cm，

∵AB=50cm，

∴AE=40cm，

∴BE的中点Q在线段AB上，

∵CD=60cm，

∴ED=30cm，

∴CE的中点P在线段CD上，

∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，

由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为 BCEH=1944cm2，

答：该矩形的面积为1944cm2

【解析】解：（1）【探索发现】
∵EF、ED为△ABC中位线，
∴ED∥AB，EF∥BC，EF= BC，ED= AB，
又∠B=90°，
∴四边形FEDB是矩形，
则 = = = ，
所以答案是： ；
⑵【拓展应用】
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴ = ，即 = ，
∴PN=a﹣ PQ，
设PQ=x，
则S矩形PQMN=PQPN=x（a﹣ x）=﹣ x2+ax=﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴当PQ= 时，S矩形PQMN最大值为 ，
所以答案是： ；
【考点精析】本题主要考查了三角形中位线定理和矩形的性质的相关知识点，需要掌握连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等才能正确解答此题．