Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．
（1）求证：BC是⊙F的切线；
（2）若点A、D的坐标分别为A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F的半径；
（3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接EF，

∵AE平分∠BAC，

∴∠FAE=∠CAE，

∵FA=FE，

∴∠FAE=∠FEA，

∴∠FEA=∠EAC，

∴FE∥AC，

∴∠FEB=∠C=90°，即BC是⊙F的切线

（2）解：连接FD，

设⊙F的半径为r，

则r2=（r﹣1）2+22，

解得，r= ，即⊙F的半径为 ；

（3）解：AG=AD+2CD．

证明：作FR⊥AD于R，

则∠FRC=90°，又∠FEC=∠C=90°，

∴四边形RCEF是矩形，

∴EF=RC=RD+CD，

∵FR⊥AD，

∴AR=RD，

∴EF=RD+CD= AD+CD，

∴AG=2FE=AD+2CD

【解析】（1）连接EF，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠FEA=∠EAC，得到FE∥AC，根据平行线的性质得到∠FEB=∠C=90°，证明结论；（2）连接FD，设⊙F的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程即可；（3）作FR⊥AD于R，得到四边形RCEF是矩形，得到EF=RC=RD+CD，根据垂径定理解答即可．