Question

【题目】如图，△ABC是一块直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部．

（1）如图①，当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO；（不写作法与证明，保留作图痕迹）
（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图①所示，射线OC即为所求；

（2）

解：如图，圆心O的运动路径长为 ，

过点O1作O1D⊥BC、O1F⊥AC、O1G⊥AB，垂足分别为点D、F、G，

过点O作OE⊥BC，垂足为点E，连接O2B，

过点O2作O2H⊥AB，O2I⊥AC，垂足分别为点H、I，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°、∠A=30°，

∴AC= = =9 ，AB=2BC=18，∠ABC=60°，

∴C△ABC=9+9 +18=27+9 ，

∵O1D⊥BC、O1G⊥AB，

∴D、G为切点，

∴BD=BG，

在Rt△O1BD和Rt△O1BG中，

∵ ，

∴△O1BD≌△O1BG（HL），

∴∠O1BG=∠O1BD=30°，

在Rt△O1BD中，∠O1DB=90°，∠O1BD=30°，

∴BD= = =2 ，

∴OO1=9﹣2﹣2 =7﹣2 ，

∵O1D=OE=2，O1D⊥BC，OE⊥BC，

∴O1D∥OE，且O1D=OE，

∴四边形OEDO1为平行四边形，

∵∠OED=90°，

∴四边形OEDO1为矩形，

同理四边形O1O2HG、四边形OO2IF、四边形OECF为矩形，

又OE=OF，

∴四边形OECF为正方形，

∵∠O1GH=∠CDO1=90°，∠ABC=60°，

∴∠GO1D=120°，

又∵∠FO1D=∠O2O1G=90°，

∴∠OO1O2=360°﹣90°﹣90°=60°=∠ABC，

同理，∠O1OO2=90°，

∴△OO1O2∽△CBA，

∴ = ，即 = ，

∴ =15+ ，即圆心O运动的路径长为15+

【解析】（1）作∠ACB的平分线得出圆的一条弦，再作此弦的中垂线可得圆心O，作射线CO即可；（2）添加如图所示辅助线，圆心O的运动路径长为 ，先求出△ABC的三边长度，得出其周长，证四边形OEDO1、四边形O1O2HG、四边形OO2IF均为矩形、四边形OECF为正方形，得出∠OO1O2=60°=∠ABC、∠O1OO2=90°，从而知△OO1O2∽△CBA，利用相似三角形的性质即可得出答案．
【考点精析】本题主要考查了切线的性质定理的相关知识点，需要掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题．