Question

【题目】如图，已知抛物线y=﹣ x2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C，D同时出发，当动点D到达原点O时，点C，D停止运动．

（1）直接写出抛物线的解析式：；
（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？
（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）y=﹣ x2+3x+8
（2）

解：∵点A（0，8）、B（8，0），

∴OA=8，OB=8，

令y=0，得：﹣ x2+3x+8=0，

解得：x1=8，x2=﹣2，

∵点E在x轴的负半轴上，

∴点E（﹣2，0），

∴OE=2，

根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，

∴OD=8﹣t，

∴DE=OE+OD=10﹣t，

∴S= DEOC= （10﹣t）t=﹣ t2+5t，

即S=﹣ t2+5t=﹣ （t﹣5）2+ ，

∴当t=5时，S最大=

（3）

解：方法一：

由（2）知：当t=5时，S最大= ，

∴当t=5时，OC=5，OD=3，

∴C（0，5），D（3，0），

由勾股定理得：CD= ，

设直线CD的解析式为：y=kx+b，

将C（0，5），D（3，0），代入上式得：

k=﹣ ，b=5，

∴直线CD的解析式为：y=﹣ x+5，

过E点作EF∥CD，交抛物线与点P，如图1，

设直线EF的解析式为：y=﹣ x+b，

将E（﹣2，0）代入得：b=﹣ ，

∴直线EF的解析式为：y=﹣ x﹣ ，

将y=﹣ x﹣ ，与y=﹣ x2+3x+8联立成方程组得：

，

解得： ， ，

∴P（ ，﹣ ）；

过点E作EG⊥CD，垂足为G，

∵当t=5时，S△ECD= = ，

∴EG= ，

过点D作DN⊥CD，垂足为N，且使DN= ，过点N作NM⊥x轴，垂足为M，如图2，

可得△EGD∽△DMN，

∴ ，

即： ，

解得：DM= ，

∴OM= ，

由勾股定理得：MN= = ，

∴N（ ， ），

过点N作NH∥CD，与抛物线交与点P，如图2，

设直线NH的解析式为：y=﹣ x+b，

将N（ ， ），代入上式得：b= ，

∴直线NH的解析式为：y=﹣ x+ ，

将y=﹣ x+ ，与y=﹣ x2+3x+8联立成方程组得：

，

解得： ， ，

∴P（8，0）或P（ ， ），

综上所述：当△CED的面积最大时，在抛物线上存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积，点P的坐标为：P（ ，﹣ ）或P（8，0）或P（ ， ）．

方法二：

由（2）知，C（0，5），D（3，0），∴lCD：y=﹣ x+5，

作PH⊥x轴，交CD于点H，

∵P在抛物线上，∴设P（6m，﹣18m2+18m+8），

∴H（6m，﹣10m+5），C（0，5），D（3，0），

S△PCD= |（DX﹣CX）（PY﹣HY）|，

∵S△CED= ，

∴ ，

∴3×|18m2﹣28m﹣3|=25，

①3×（18m2﹣28m﹣3）=25，

∴m1=﹣ ，m2= ，

∴6m1=﹣2（舍），6m2= ，

②3×（18m2﹣28m﹣3）=﹣25，

∴m1= ，m2= ，

∴6m1=8，6m2= ，

综上所述，点P的坐标为：P（ ，﹣ ）或P（8，0）或P（ ， ）

【解析】解：（1）将点A（0，8）、B（8，0）代入抛物线y=﹣ x2+bx+c得： ，
解得：b=3，c=8，
∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2+3x+8，
所以答案是：y=﹣ x2+3x+8；
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．