Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线 交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．
①设△PDE的周长为 ，点P的横坐标为 ，求 关于 的函数关系式，并求出 的最大值；
②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在 轴上时，求出对应点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：对于 ，当y=0，x=2．当x=－8时，y=－ ．

∴A点坐标为（2，0），B点坐标为（－8，－ ）．

由抛物线 经过A、B两点，得 ，解得 ， ．

∴ ；

（2）解：①设直线 与y轴交于点M，

当x=0时，y= ．∴OM= ．

∵点A的坐标为（2，0），∴OA=2．

∴AM= ．

∴OM∶OA∶AM=3∶4∶5．

由题意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，

∴△AOM∽△PED．

∴DE∶PE∶PD=3∶4∶5．

∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点，

∵PD⊥x轴，

∴PD两点横坐标相同，

∴PD=yP－yD= = ，

∴ ．

∴x=－3时，l最大=15；

②当点G落在y轴上时，如图2，

由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，

即 ，解得x= ，

所以P1（ ，2），P2（ ，2），

如图3，过点P作PN⊥y轴于点N，过点P作PS⊥x轴于点S，

由△PNF≌△PSA，

PN=PS，可得P点横纵坐标相等，

故得当点F落在y轴上时， ，解得 ，

可得P3（ ， ），

P4（ ， ），（舍去）．

综上所述：满足题意的点P有三个，分别是P1（ ，2），P2（ ，2），P3（ ， ）．

【解析】（1）利用一次函数的解析式当y=0时求出点A的坐标，再将x=-8代入函数解析式求出B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答。
（2）①设z直线AB与y轴交于点M，根据勾股定理求出AM长，及三边之比，再证明△AOM∽△PED．得出DE∶PE∶PD=3∶4∶5，由点P是直线AB上方的抛物线上一动点，PD⊥x轴，得出P、D两点横坐标相同，即可求出PD的长，再根据三角形的周长公式列式整理即可得解，再根据二次函数的最值问题解答。
②当点G在y轴上时，根据正方形的性质，先证△ACP≌△GOA，得PC=AO=2，根据二次函数的解析式建立方程求解，即可求出点P的坐标；
当点F在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，根据正方形的性质，先证△PNF≌△PSA，得出PN=PS，可得P点横纵坐标相等，建立方程求解，即可求出点P的坐标。
【考点精析】利用二次函数的最值和正方形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．