Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交x轴、y轴于A、B两点．

（1）求A、B两点的坐标；
（2）设P是直线AB上一动点（点P与点A不重合），⊙P始终和x轴相切，和直线AB相交于C、D两点（点C的横坐标小于点D的横坐标）．若P点的横坐标为m，试用含有m的代数式表示点C的横坐标；
（3）在（2）的条件下，若点C在线段AB上，当△BOC为等腰三角形时求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：（1）当x=0时，y=4；当y=0时，- x+4=0，x=3．

∴A（3，0），B（0，4）．

（2）解：设点C的横坐标为n．由（1）知AB= =5，

∴sin∠OBA= ．

过C作CE⊥x轴于E，过P作PG⊥x轴于G，PF⊥CE于F，

则∠FCP=∠OBA，PF=m-n．

①当m＜3时，∵PC=PG=- m+4，

∴PF=PCsin∠FCP=PCsin∠OBA，

∴m-n=（- m+4）× ．

解得n= m-

②当m＞3时，PC=PG= m-4，PF=PCsin∠FCP=PCsin∠OBA，

∴m-n=（ m-4）× ．

解得n= m+

（3）解：当点C在线段AB上时，由（2）知，C点的横坐标n= m- ，

以下两种情况△BOC为等腰三角形．

①当CB=CO时，

∵△OBA是直角三角形，∠BOA=90度．

∴此时C为AB的中点，

∴C点的横坐标为 ．

∴ m- = ，解得m= ．

②当CB=OB时，

∵AB=5，

∴AC=AB-CB=1，

∴AE=ACcos∠OAB= ．

∵OE+AE=OA，

∴ m- + =3，解得m= ．

③当OC=OB时，因为OB＞OA，所以C在线段BA的延长线上，即在线段AB上不存在点C，使OC=OB。

所以，当m= 或m= 时，△BOC为等腰三角形．

【解析】（1）根据题意分别求出当x=0时和当y=0时，对应的函数值和自变量的值，即可求得点A、B的坐标。
（2）设点C的横坐标为n．利用勾股定理求出AB的长，过C作CE⊥x轴于E，过P作PG⊥x轴于G，PF⊥CE于F，证得∠FCP=∠OBA，PF=m-n．分两种情况：①当m＜3时；②当m＞3时，得出PC=PG，再分别根据PF=PCsin∠FCP=PCsin∠OBA；PF=PCsin∠FCP=PCsin∠OBA，得出关于m、n的关系式，即可求出n的值。
（3）分三种情况：①当CB=CO时，根据点C的横坐标建立方程，求出m的值；②当CB=OB时，根据OE+AE=OA，建立关于m的方程，求解即可。
③在线段AB上不存在点C，使OC=OB。
【考点精析】掌握等腰三角形的性质和切线的性质定理是解答本题的根本，需要知道等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．