Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，D、F是AB边上的两点，以DF为直径的⊙O与BC相交于点E，连接EF，过F作FG⊥BC于点G，其中∠OFE= ∠A．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若sinB= ，⊙O的半径为r，求△EHG的面积（用含r的代数式表示）．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接OE，

∵在△ABC中，∠C=90°，FG⊥BC，

∴∠BGF=∠C=90°，

∴FG∥AC，

∴∠OFG=∠A，

∴∠OFE= ∠OFG，

∴∠OFE=∠EFG，

∵OE=OF，

∴∠OFE=∠OEF，

∴∠OEF=∠EFG，

∴OE∥FG，

∴OE⊥BC，

∴BC是⊙O的切线

（2）

解：∵在Rt△OBE中，sinB= ，⊙O的半径为r，

∴OB= r，BE= r，

∴BF=OB+OF= r，

∴FG=BFsinB= r，

∴BG= = r，

∴EG=BG﹣BE= r，

∴S△FGE= EGFG= r2，EG：FG=1：2，

∵BC是切线，

∴∠GEH=∠EFG，

∵∠EGH=∠FGE，

∴△EGH∽△FGE，

∴ =（ ）= ，

∴S△EHG= S△FGE= r2．

【解析】（1）首先连接OE，由在△ABC中，∠C=90°，FG⊥BC，可得FG∥AC，又由∠OFE= ∠A，易得EF平分∠BFG，继而证得OE∥FG，证得OE⊥BC，则可得BC是⊙O的切线；
　　　　（2）由在△OBE中，sinB= ，⊙O的半径为r，可求得OB，BE的长，然后由在△BFG中，求得BG，FG的长，则可求得EG的长，易证得△EGH∽△FGE，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得答案．此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．