Question

【题目】已知，M是等边△ABC边BC上的点，如图，连接AM，过点M作∠AMH=60°，MH与∠ACB的邻补角的平分线交于点H，过H作HD⊥BC于点D

（1）求证：MA=MH

（2）猜想写出CB、CM、CD之间的数量关系式，并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）CB=CM+2CD.

【解析】（1）过M点作MN∥AC交AB于N，然后根据全等三角形的判定“ASA”证明△AMN≌△MHC，再根据全等三角形的性质可得MA=MH；

（2）过M点作MG⊥AB于G，再根据全等三角形的判定“AAS”证明△BMG≌△CHD可得CD=BG，因为BM=2CD可得BC=MC+2CD．

（1）如图，过M点作MN∥AC交AB于N，

则BM=BN，∠ANM=120°，

∵AB=BC，

∴AN=MC，

∵CH是∠ACD的平分线，

∴∠ACH=60°=∠HCD，

∴∠MCH=∠ACB+∠ACH=120°，

又∵∠NMC=120°，∠AMH=60°，

∴∠HMC+∠AMN=60°

又∵∠NAM+∠AMN=∠BNM=60°，

∴∠HMC=∠MAN，

在△ANM和△MCH中，

，

∴△AMN≌△MHC（ASA），

∴MA=MH；

（2）CB=CM+2CD；

证明：如图，过M作MG⊥AB于G，

∵HD⊥BC，

∴∠HDC=∠MGB=90°，

∵△AMN≌△MHC，

∴MN=HC，

∵MN=MB，

∴HC=BM，

在△BMG和△CHD中，

，

∴△BMG≌△CHD（AAS），

∴CD=BG，

∵△BMN为等边三角形，

∴BM=2BG，

∴BM=2CD，

∴BC=MC+2CD．