Question

【题目】已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．

(1)如图①，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证：AC⊥BD；

(2)如图②，若AC⊥BD，垂足为F，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析;(2)⊙O的半径为.

【解析】试题分析：（1）根据题意不难证明四边形ABCD是正方形，结论可以得到证明；
（2）连结DO，延长交圆O于F，连结CF、BF．根据直径所对的圆周角是直角，得∠DCF=∠DBF=90°，则BF∥AC，根据平行弦所夹的弧相等，得弧CF=弧AB，则CF=AB．根据勾股定理即可求解．

试题解析：

：（1）∵∠ADC=∠BCD=90°，
∴AC、BD是⊙O的直径，
∴∠DAB=∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD=CD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD；
（2）连结DO，延长交圆O于F，连结CF、BF．
∵DF是直径，
∴∠DCF=∠DBF=90°，
∴FB⊥DB，
又∵AC⊥BD，
∴BF∥AC，∠BDC+∠ACD=90°，
∵∠FCA+∠ACD=90°
∴∠BDC=∠FCA=∠BAC
∴等腰梯形ACFB
∴CF=AB．
根据勾股定理，得
CF2+DC2=AB2+DC2=DF2=20，
∴DF=2，

∴OD=，即⊙O的半径为.