Question

【题目】如图,在Rt△ABO中,∠BOA=90°,∠BAO=30°.以AB为一边向上作等边三角形ABE,点D为OA垂直平分线上的一点,且AD⊥AB,连接BD、OD、OE.

(1)判断△ADO的形状,并说明理由;

(2)求证:BD=OE

(3)在射线BA上有一动点P,若△PAO为等腰三角形,直接写出∠AOP的度数

Answer 1

【答案】（1）△ADO是等边三角形，理由见解析；（2）证明见解析；（3）75°或30°或15°.

【解析】

（1）根据AD⊥AB且∠BAO=30°可求出∠DAO=60°，然后根据垂直平分线的性质得到OD=DA，即可证明△ADO是等边三角形；

（2）根据等边三角形的性质结合SAS证明△ABD≌△AEO即可；

（3）分情况讨论：①当OA=AP时，②当OP=AP时，③当OA=AP时，分别根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质求解即可.

（1）△ADO是等边三角形；

理由：∵DA⊥BA，∠BAO=30°，

∴∠DAO=90°-30°=60°，

∵点D为OA垂直平分线上的一点，

∴OD=DA，

∴△ADO是等边三角形；

（2）∵△ABE、△ADO是等边三角形，

∴DA=OA，AB=AE，∠OAD=∠EAB=60°，

∵∠BAO=30°，

∴∠BAD=EAO=90°，

∴△ABD≌△AEO（SAS），

∴BD=OE；

（3）分情况讨论：

①当OA=AP时，如图，

∵∠BAO=30°，

∴∠AOP1=（180°－30°）÷2=75°；

②当OP=AP时，如图，

∵∠BAO=30°，

∴∠AOP2=∠BAO=30°；

③当OA=AP时，如图，

∴∠AOP3=∠AP3O，

∵∠BAO=30°，

∴∠AOP3=∠BAO=15°，

综上所述：∠AOP的度数为75°或30°或15°.