Question

【题目】已知：抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小．

（1）求抛物线的解析式；

（2）结合图象写出，0＜x＜4时，直接写出y的取值范围 ；

（3）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．当BC=1时，求出矩形ABCD的周长．

Answer 1

【答案】（1）二次函数解析式为y=x2﹣3x．（2）故答案为﹣≤y＜4．（3）当BC=1时，矩形的周长为6．

【解析】

试题分析：（1）把（0，0）代入抛物线解析式求出m的值，再根据增减性确定m的值即可．

（2）画出函数图象，求出函数最小值以及x=0或4是的y的值，由此即可判断．

（3）由BC=1，B、C关于对称轴对称，推出B（，1，0），C（（2，0），由AB⊥x轴，DC⊥x轴，推出A（1，﹣2），D（2，﹣2），求出AB，即可解决问题．

试题解析：（1）∵y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，

∴0=0+0+m2﹣1，即m2﹣1=0，解得m=±1．

又∵当x＜0时，y随x的增大而减小，，∴m=﹣1，

∴二次函数解析式为y=x2﹣3x．

（2）如图1中，

x=0时，y=0，∵y=（x﹣）2﹣，∴x=时，y最小值为﹣，

x=4时，y=4，∴0＜x＜4时，﹣≤y＜4．

故答案为﹣≤y＜4．

（3）如图2中，

∵BC=1，B、C关于对称轴对称，∴B（，1，0），C（（2，0），∵AB⊥x轴，DC⊥x轴，

∴A（1，﹣2），D（2，﹣2），∴AB=DC=2，BC=AD=1，

∴四边形ABCD的周长为6，

当BC=1时，矩形的周长为6．