Question

【题目】如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°．
（1）求∠B的大小；
（2）已知圆心0到BD的距离为3，求AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠CAB=∠CDB（同弧所对的圆周角相等），∠CAB=40°，

∴∠CDB=40°；

又∵∠APD=65°，

∴∠BPD=115°；

∴在△BPD中，

∴∠B=180°﹣∠CDB﹣∠BPD=25°

（2）解：过点O作OE⊥BD于点E，则OE=3．

∵AB是直径，

∴AD⊥BD（直径所对的圆周角是直角）；

∴OE∥AD；

又∵O是AB的中点，

∴OE是△ABD的中位线，

∴AD=2OE=6．

【解析】（1）由同弧所对的圆周角相等求得∠CAB=∠CDB=40°，然后根据平角是180°求得∠BPD=115°；最后在△BPD中依据三角形内角和定理求∠B即可；（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE=3．根据直径所对的圆周角是直角，以及平行线的判定知OE∥AD；又由O是直径AB的半径可以判定O是AB的中点，由此可以判定OE是△ABD的中位线；最后根据三角形的中位线定理计算AD的长度．
【考点精析】关于本题考查的三角形的内角和外角和三角形中位线定理，需要了解三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半才能得出正确答案．