Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD，∠BAD的平分线交BC于E，连接DE．

（1）说明点D在△ABE的外接圆上；

（2）若∠AED=∠CED，试判断直线CD与△ABE外接圆的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】试题分析：（1）根据题中条件可证明△AOB≌△AOD，得到OD=OB，可证点D在△ABE的外接圆上；

（2）根据∠C=90°，可得∠CED+∠CDE=90°；利用∠ODE=∠DEC，可知∠ODC=∠CDE+∠ODE=∠CDE+∠CED=90°，即CD与△ABE的外接圆相切．

试题解析：证明：（1）∵∠B=90°，∴AE是△ABE外接圆的直径．

取AE的中点O，则O为圆心，连接OB、OD．

在△AOB和△AOD中，∵AB=AD，∠BAC=∠DAO，AO=AO，∴△AOB≌△AOD．∴OD=OB，∴点D在△ABE的外接圆上．

（2）直线CD与△ABE的外接圆相切．

理由：∵AB∥CD，∠B=90°．∴∠C=90°，∴∠CED+∠CDE=90°．

又∵OE=OD，∴∠ODE=∠OED．

又∠AED=∠CED，∴∠ODE=∠DEC，∴∠ODC=∠CDE+∠ODE=∠CDE+∠CED=90°，∴CD与△ABE的外接圆相切．