Question

【题目】如图，□ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．

（1）求证：BF=DE；

（2）如果∠ABC=75°, ∠DBC=30°，BC=2，求BD的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2） +1．

【解析】

(1)根据矩形的性质和已知条件证得△ADE≌△CBF，再利用全等三角形的性质即可证明；

(2)先根据矩形的性质、勾股定理等知识求得AE的长,进而求得DE和BD的长．

（1）证明：∵□ABCD，

∴AD∥BC，AD=BC.

∴∠ADE=∠CBF.

∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，

∴∠AED=∠CFB=90°.

在△ADE和△CBF中，

∠AED=∠BFC,∠ADE=∠CBF，|AD=BC

∴△ADE≌△CBF（AAS）

∴DE=BF

（2）解：∵∠ABC=75°，∠DBC=30°，

∴∠ABE=750-30°=45.

∵AB∥CD，

∴∠ABE=∠BDC=45°，

∵AD=BC=2， ∠ADE=∠CBF=30°，

∴在Rt△ADE中，AE=1，DE==．

在Rt△AEB中，∠ABE=∠BAE=45°

故AE=BE=1.则BD= +1．