Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．

（1）求证：四边形AECD是菱形；

（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）△ABC是直角三角形，理由见解析．

【解析】

（1）先证明四边形AECD是平行四边形，然后证明AE=EC即可四边形AECD是菱形；

（2）先说明BE=CE、∠ACE=∠CAE，再说明BE=CE、∠ACE=∠CAE，再根据三角形内角和得到∠B+∠BCA+∠BAC=180°，进一步得到∠BCE+∠ACE=90°即∠ACB=90°，即可说明△ABC是直角三角形．

（1）证明：∵AB//CD，

∴AE//CD，

又∵CE/∥AD，

∴四边形AECD是平行四边形.

∵AC平分∠BAD

∴∠CAE=∠CAD，

又∵AD∥CE，.∠ACE=∠CAD，

∴∠ACE=∠CAE，

∴AE=CE，

∴四边形AECD是菱形；

（2）解：△ABC是直角三角形,理由如下：

∵E是AB中点，

∴AE=BE.

又∵AE=CE，

∴BE=CE，∠ACE=∠CAE，

∴∠B=∠BCE，

∵∠B+∠BCA+∠BAC=180°，

∴2∠BCE+2∠ACE=180°

∴∠BCE+∠ACE=90°，即∠ACB=90°

∴△ABC是直角三角形．