Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连结AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设 =n.

（1）求证：AE=GE；
（2）当点F落在AC上时，用含n的代数式表示 的值；
（3）若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值.

Answer 1

【答案】
（1）

证明：由对称得AE=FE，∴∠EAF=∠EFA，

∵GF⊥AE，∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°，

∴∠FGA=∠EFG，∴EG=EF.

∴AE=EG.

（2）

解：设AE=a，则AD=na，

当点F落在AC上时（如图1），

由对称得BE⊥AF，

∴∠ABE+∠BAC=90°，

∵∠DAC+∠BAC=90°，

∴∠ABE=∠DAC，

又∵∠BAE=∠D=90°，

∴△ABE~△DAC ,

∴

∵AB=DC，∴AB2=AD·AE=na·a=na2,

∵AB>0，∴AB= .

∴ .

（3）

解：设AE=a，则AD=na，由AD=4AB，则AB= .

当点F落在线段BC上时（如图2），EF=AE=AB=a，

此时 ，∴n=4.

∴当点F落在矩形外部时，n>4.

∵点F落在矩形的内部，点G在AD上，

∴∠FCG<∠BCD，∴∠FCG<90°，

若∠CFG=90°，则点F落在AC上，由（2）得 ，∴n=16.

若∠CGF=90°（如图3），则∠CGD+∠AGF=90°，

∵∠FAG+∠AGF=90°，

∴∠CGD=∠FAG=∠ABE，

∵∠BAE=∠D=90°，

∴△ABE~△DGC，

∴ ，

∴AB·DC=DG·AE，即（ ）2=（n-2）a·a.

解得 或 （不合题意，舍去），

∴当n=16或 时，以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形.

【解析】（1）因为GF⊥AF，由对称易得AE=EF，则由直角三角形的两个锐角的和为90度，且等边对等角，即可证明E是AG的中点；（2）可设AE=a，则AD=na，即需要用n或a表示出AB，由BE⊥AF和∠BAE==∠D=90°，可证明△ABE~△DAC , 则 ，因为AB=DC，且DA，AE已知表示出来了，所以可求出AB，即可解答；（3）求以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形时的n，需要分类讨论，一般分三个，∠FCG=90°，∠CFG=90°，∠CGF=90°；根据点F在矩形ABCD的内部就可排除∠FCG=90°，所以就以∠CFG=90°和∠CGF=90°进行分析解答.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用矩形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．