Question

【题目】 （本小题8分）已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE＝45°．

（1）求证：△ABD∽△DCE；

（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；

（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）y=x2-x+1；（3）AE的长为2-或．

【解析】

试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质及三角形内角与外角的关系，易证△ABD∽△DCE；（2）由△ABD∽△DCE，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式；（3）当△ADE是等腰三角形时，因为三角形的腰和底不明确，所以应分AD=DE，AE=DE，AD=AE三种情况讨论求出满足题意的AE的长即可．

试题解析：（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠C=∠ADE=45°，

∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE

∴∠BAD=∠CDE

∴△ABD∽△DCE；

由（1）得△ABD∽△DCE，

∴

∵∠BAC=90°，AB=AC=1，

∴BC=，DC=-x，EC=1-y，

∴

∴y=x2-x+1

（3）当AD=DE时，△ABD≌△CDE，

∴BD=CE，

∴x=1-y，即 x-x2=x，∵x≠0，

∴等式左右两边同时除以x得：x=-1

∴AE=1-x=2-，

当AE=DE时，DE⊥AC，此时D是BC中点，E也是AC的中点，

所以，AE=；

当AD=AE时，∠DAE=90°，D与B重合，不合题意；

综上，在AC上存在点E，使△ADE是等腰三角形，

AE的长为2-或．