Question

【题目】如图，在△中，∠ACB＝90°，∠ABC与∠BAC的角平分线相交于点P，连接CP，过点P作DE⊥CP分别交AC、BC于点D、E，

(1)若∠BAC＝40°，求∠APB与∠ADP度数；

(2)探究：通过（1）的计算，小明猜测∠APB＝∠ADP，请你说明小明猜测的正确性（要求写出过程）．

Answer 1

【答案】（1），；（2）正确，理由见解析．

【解析】

（1）根据三角形的三条角平分线交于一点可知CP平分∠BCA，可得∠PCD=45°，从而由三角形外角性质可求∠ADP=135°，再∠BAC＝40°，可求∠BAC度数，根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．

（2）同理（1）直接可得．由角平分线可求，进而可得，由此得出结论．

解：（1），，∠BAC＝40°，

．

与的角平分线相交于点，

，．

，

．

与的角平分线相交于点，

∴CP是∠ACB的角平分线，

∴∠PCD=，

∵DE⊥CP，

∴，

∴．

终上所述：，．

∴ ∠ADP=

（2）小明猜测是正确的，理由如下：

与的角平分线相交于点，

∴CP是∠ACB的角平分线，

∴∠PCD=，

∵DE⊥CP，

∴，

∴．

与的角平分线相交于点，

，．

∵，

∴

，

．

故∠APB＝∠ADP．