Question

【题目】已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，求证：PQ=BP．

Answer 1

【答案】证明见解析.

【解析】

由△ABC是等边三角形可得AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，结合AE=CD可得△ABE≌△CAD，由此可得∠ABE=∠CAD，结合∠BPQ=∠ABE+∠BAP可得∠BPQ=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°，再结合BQ⊥AD即可得到∠BQP=90°，∠PBQ=30°，由此即可得到PQ=BP.

∵△ABC为等边三角形，

∴∠C=∠BAC=60°，AB=AC，

又∵AE=CD，

∴△ABE≌△CAD（SAS），

∴∠BAE=∠CAD,

∵∠BPQ=∠ABE+∠BAP，

∴∠BPQ=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°，

又∵BQ⊥AD，

∴∠BQP=90°，∠PBQ=30°，

∴PQ=BP.