Question

【题目】如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠ACB＝90°，AD＝BD，∠BAD＝30°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA，若点M在DE上，且DC＝DM．则下列结论中：①∠ADB＝120°；②△ADC≌△BDC；③线段DC所在的直线垂直平分线AB；④ME＝BD；正确的有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

由等腰三角形的性质可判断①，由“SSS”可证△ADC≌△BDC，可判断②，由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可判断③，由“AAS”可证△ACD≌△ECM，可判断④．

解：∵AD=BD，∠BAD=30°，

∴∠BAD=∠ABD=30°，

∴∠ADB=120°,

故①正确;

∵AC=BC，AD=BD，CD=CD,

∴△ADC≌△BDC（SSS）,

故②正确;

∵△ADC≌△BDC

∴∠ACD=∠BCD，且AC=BC

∴线段DC所在的直线垂直平分线AB,

故③正确;

∵△ABC是等腰直角三角形,

∴∠CAB=∠CBA,

∴∠CAD=∠CBD=15°,

∵CA=CE,

∴∠E=∠CAD=15°,

∵∠EDC=∠DAC+∠DCA=60°，且CD=CM,

∴∠CDE=∠CMD=60°,

∴∠ADC=∠CME=120°，且∠E=∠CAD，AC=CE,

∴△ACD≌△ECM（AAS）,

∴AD=ME=BD,

故④正确,

故选：D．