Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=8，∠BAD=60°，点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点E不与点A重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作EG∥AD交AC于点G，过点G作GH⊥AD交AD（或AD的延长线）于点H，得到矩形EFHG，设点E运动的时间为t秒

（1）求线段EF的长（用含t的代数式表示）；
（2）求点H与点D重合时t的值；
（3）设矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积与S平方单位，求S与t之间的函数关系式；
（4）矩形EFHG的对角线EH与FG相交于点O′，当OO′∥AD时，t的值为；当OO′⊥AD时，t的值为 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意知：AE=2t，0≤t≤4，

∵∠BAD=60°，∠AFE=90°，

∴sin∠BAD= ，

∴EF= t

（2）

解：∵AE=2t，∠AEF=30°，

∴AF=t，

当H与D重合时，

此时FH=8﹣t，

∴GE=8﹣t，

∵EG∥AD，

∴∠EGA=30°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠BAC=30°，

∴∠BAC=∠EGA=30°，

∴AE=EG，

∴2t=8﹣t，

∴t=

（3）

解：当0＜t≤ 时，

此时矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形为矩形EFHG，

∴由（2）可知：AE=EG=2t，

∴S=EFEG= t2t=2 t2，

当 ＜t≤4时，如图1，

设CD与HG交于点I，

此时矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形为五边形FEGID，

∵AE=2t，

∴AF=t，EF= t，

∴DF=8﹣t，

∵AE=EG=FH=2t，

∴DH=2t﹣（8﹣t）=3t﹣8，

∵∠HDI=∠BAD=60°，

∴tan∠HDI= ，

∴HI= DH，

∴S=EFEG﹣ DHHI=2 t2﹣ （3t﹣8）2=﹣ t2+24 t﹣32

（4）4；3
【解析】解：（4）当OO′∥AD时，如图2

此时点E与B重合，
∴t=4；
当OO′⊥AD时，如图3，

过点O作OM⊥AD于点M，EF与OA相交于点N，
由（2）可知：AF=t，AE=EG=2t，
∴FN= t，
∵O′是矩形EFHG的对角线的交点，
∴FM= EG=t，
∵O′O⊥AD，O′是FG的中点，
∴O′O是△FNG的中位线，
∴O′O= FN= t，
∵AB=8，
∴由勾股定理可求得：OA=4
∴OM=2 ，
∴O′M=2 ﹣ t，
∵FE= t，EG=2t，
∴由勾股定理可求得：FG2=7t2 ，
∴由矩形的性质可知：O′F2= FG2 ，
∵由勾股定理可知：O′F2=O′M2+FM2 ，
∴ t2=（2 ﹣ t）2+t2 ，
∴t=3或t=﹣6（舍去）．
所以答案是：t=4；t=3．
【考点精析】利用菱形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半．