Question

【题目】如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BE，延长 AE 交 BC 的 延长线于点 F.

（1）△DAE 和△CFE 全等吗？说明理由；

（2）若 AB=BC+AD，说明 BE⊥AF；

（3）在（2）的条件下，若 EF=6，CE=5，∠D=90°，你能否求出 E 到 AB 的距离？如果能 请直接写出结果.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）5

【解析】（1）根据平行线的性质可得∠ADE=∠FCE，根据中点定义可得DE=EC，结合对顶角相等即可根据“ASA”得到△ADE≌△FCE；

（2）由全等三角形的性质可得AD=CF，AE=EF，从而AB=BF，E为为 AF 中点，由三线合一的性质知BE⊥AF，BE平分∠ABC；

（3）由（2）知BE平分∠ABC，根据角平分线的性质即可得到答案.

（1）△DAE≌△CFE 理由如下：

∵AD∥BC（已知），

∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），

∵E 是 CD 的中点（已知），

∴DE=EC（中点的定义）．

∵在△ADE 与△FCE 中，

∵ADC＝ECF（已证），

DE＝EC（已证），

AED＝CEF（对顶角相等），

∴△ADE≌△FCE（ASA）；

（2）由（1）得△ADE≌△FCE，

∴AD=CF，AE=EF（全等三角形的对应边相等），

∴E 为 AF 中点，即 BE 是△ABF 中 AF 边上的中线，

∵AB=BC+AD，

∴AB=BC+CF=BF，

∴BE⊥AF（三线合一）；

（3）∵AD∥BC，∠D=90°，

∴∠BCE=90°,

∵CE=5，

∴E 到 AB 的距离等于5.