Question

【题目】取一副三角板按图1拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为α的角 （0°＜α≤45°）得到△ABC′，如图所示．试问：

（1）当α为多少度时，能使得图2中AB∥DC．

（2）连接BD，当0°＜α≤45°时，探寻∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）∠DBC′+∠CAC′+∠BDC的值的大小没有变化, 总是105°.

【解析】

（1）要使AB∥DC，只要证出∠CAC′=15°即可．

（2）当0°＜α≤45°时，总有△EFC′存在．根据三角形外角的性质和三角形内角和定理即可得出结论．

（1）由题意∠CAC′=α，要使AB∥DC，须∠BAC=∠ACD，∴∠BAC=30°，∴α=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=45°﹣30°=15°，即α=15°时，能使得AB∥DC．

（2）连接BD，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC的值的大小没有变化，总是105°．理由如下：

当0°＜α≤45°时，总有△EFC′存在．

∵∠EFC′=∠BDC+∠DBC′，∠CAC′=α，∠FEC′=∠C+α．

又∵∠EFC′+∠FEC′+∠C′=180°，∴∠BDC+∠DBC′+∠C+α+∠C′=180°．

又∵∠C′=45°，∠C=30°，∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°．