Question

【题目】如图，将在Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到在Rt△ADE，连接BE，延长DE、BC相交于点F，则有∠BFE=90°，且四边形ACFD是一个正方形．

（1）判断△ABE的形状，并证明你的结论；

（2）用含b代数式表示四边形ABFE的面积；

（3）求证：a2+b2=c2．

Answer 1

【答案】（1）△ABE是等腰直角三角形，证明详见解析；（2）b 2；（3）详见解析.

【解析】

（1）利用旋转的性质得出∠BAE=∠BAC+∠CAE=∠CAE+∠DAE=90°，AB=AE，即可得出△ABE的形状；（2）利用四边形ABFE的面积等于正方形ACFD面积，即可得出答案；（3）利用正方形ACFD面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和进而证明即可．

（1）△ABE是等腰直角三角形，

证明：∵Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到在Rt△ADE，

∴∠BAC=∠DAE，

∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=∠CAE+∠DAE=90°，

又∵AB=AE，

∴△ABE是等腰直角三角形；

（2）∵四边形ABFE的面积等于正方形ACFD面积，

∴四边形ABFE的面积等于：b 2．

（3）∵S正方形ACFD=S△BAE+S△BFE

即：b2=c2+（b+a）（b﹣a），

整理：2b2=c2+（b+a）（b﹣a）

∴a2+b2=c2．