Question

【题目】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E，当P点在线段AD上运动时，∠E与∠B，∠ACB的数量关系为________________．

Answer 1

【答案】∠E＝ (∠ACB－∠B)

【解析】由三角形的内角和为180°，AD是角平分线，可以用∠ABE和∠ACB表示∠BAD；仔细观察图形，∠PDE是△ABD的外角，由三角形外角定理可以用∠ABE、∠ACB表示出∠PDE，又求出了∠E与∠PDE互余，即可解答本题.

∵在△ABC中, ∠BAC=180°-(∠B+∠ACB)，AD平分∠BAC，

∴∠BAD=90°- (∠B+∠ACB).

∵∠ADC是△ABD的一个外角，

∴∠ADC=∠BAD+∠ABE=90°- (∠B+∠ACB)+∠B=90°+ (∠B-∠ACB).

∵PE⊥AD，∠ADC=90°+ (∠B-∠ACB)，

∴∠E=90°-[90°+ (∠B-∠ACB)]= (∠ACB-∠B).

故答案为：∠E＝ (∠ACB－∠B).