Question

【题目】在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD．若两个点同时运动的时间为x秒（0＜x≤3），解答下列问题：

（1）设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值；
（2）是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四边形ABCD为矩形，

∴BC=AD=4，CD=AB=3，

当运动x秒时，则AQ=x，BP=x，

∴BQ=AB﹣AQ=3﹣x，CP=BC﹣BP=4﹣x，

∴S△ADQ= ADAQ= ×4x=2x，S△BPQ= BQBP= （3﹣x）x= x﹣ x2，S△PCD= PCCD= （4﹣x）3=6﹣ x，

又S矩形ABCD=ABBC=3×4=12，

∴S=S矩形ABCD﹣S△ADQ﹣S△BPQ﹣S△PCD=12﹣2x﹣（ x﹣ x2）﹣（6﹣ x）= x2﹣2x+6= （x﹣2）2+4，

即S= （x﹣2）2+4，

∴S为开口向上的二次函数，且对称轴为x=2，

∴当0＜x＜2时，S随x的增大而减小，当2＜x≤3时，S随x的增大而增大，

又当x=0时，S=5，当S=3时，S= ，但x的范围内取不到x=0，

∴S不存在最大值，当x=2时，S有最小值，最小值为4

（2）

解：存在，理由如下：

由（1）可知BQ=3﹣x，BP=x，CP=4﹣x，

当QP⊥DP时，则∠BPQ+∠DPC=∠DPC+∠PDC，

∴∠BPQ=∠PDC，且∠B=∠C，

∴△BPQ∽△PCD，

∴ ，即 ，解得x= （舍去）或x= ，

∴当x= 时QP⊥DP

【解析】（1）可用x表示出AQ、BQ、BP、CP，从而可表示出S△ADQ、S△BPQ、S△PCD的面积，则可表示出S，再利用二次函数的增减性可求得是否有最大值，并能求得其最小值；（2）用x表示出BQ、BP、PC，当QP⊥DP时，可证明△BPQ∽△CDP，利用相似三角形的性质可得到关于x的方程，可求得x的值．本题为四边形的综合应用，涉及知识点有矩形的性质、二次函数的最值、相似三角形的判定和性质及方程思想等．在（1）中求得S关于x的关系式后，求S的最值时需要注意x的范围，在（2）中证明三角形相似是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
【考点精析】利用二次函数的最值和矩形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．