Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，AD⊥BC，BD=2，延长AD到E，使AE=2AD，连接BE．

（1）求证：△ABE为等边三角形；

（2）将一块含60°角的直角三角板PMN如图放置，其中点P与点E重合，且∠NEM=60°，边NE与AB交于点G，边ME与AC交于点F．求证：BG=AF；

（3）在（2）的条件下，求四边形AGEF的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4

【解析】试题分析：（1）先证明，可知AB=2AD，因为AE=2AD，所以AB=AE，从而可知△ABE是等边三角形．
（2）由（1）可知： AE=BE，然后求证即可得出BG=AF；
（3）由于∴S四边形故只需求出△ABE的面积即可．

试题解析：

(1)AB=AC，AD⊥BC，

∴AB=2AD，

∵AE=2AD，

∴AB=AE，

∴△ABE是等边三角形.

(2)∵△ABE是等边三角形，

AE=BE，

由(1)

∴∠ABE=∠CAE，

∴∠NEM∠AEN=∠BEA∠AEN，

∴∠AEF=∠BEG，

在△BEG与△AEF中，

∴BG=AF；

(3)由(2)可知：

∴S四边形

∵△ABE是等边三角形，

∴AE=AB=4，

∴S四边形