Question

【题目】如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为“麻辣数”．如：2=13﹣（﹣1）3，26=33﹣13，所以2、26均为“麻辣数”．

【立方差公式a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）】

（1）请判断98和169是否为“麻辣数”，并说明理由；

（2）在小组合作学习中，小明提出新问题：“求出在不超过2016的自然数中，所有的‘麻辣数’之和为多少？”小组的成员胡图图略加思索后说：“这个难不倒图图，我们知道奇数可以用2k+1表示…，再结合立方差公式…”，请你顺着胡图图的思路，写出完整的求解过程．

Answer 1

【答案】（1）不是（2）6860

【解析】

试题分析：（1）根据相邻两个奇数的立方差，可得答案；

（2）根据相邻两个奇数的立方差，麻辣数的定义，可得答案．

试题解析：设k为整数，则2k+1、2k﹣1为两个连续奇数，

设M为“麻辣数”，

则M=（2k+1）3﹣（2k﹣1）3=24k2+2；

（1）98=53﹣33，故98是麻辣数；M=24k2+2是偶数，故169不是麻辣数；

（2）令M≤2016，则24k2+2≤2016，

解得k2≤＜84，

故k2=0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，

故M的和为24×（0+1+4+9+16+25+36+49+64+81）+2×10=6860．