Question

【题目】如图，四边形ABCD为矩形，连接AC，AD=2CD，点E在AD边上．

（1）如图1，若∠ECD=30°，CE=4，求△AEC的面积；

（2）如图2，延长BA至点F使得AF=2CD，连接FE并延长交CD于点G，过点D作DH⊥EG于点H，连接AH，求证：FH=AH+DH；

（3）如图3，将线段AE绕点A旋转一定的角度α（0°＜α＜360°）得到线段AE′，连接CE′，点N始终为CE′的中点，连接DN，已知CD=AE=4，直接写出DN的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）12﹣2；（2）证明见解析（3）2＜DN≤2

【解析】

试题分析：（1）根据30°的直角三角形求CD和ED，再利用面积公式求△AEC的面积；

（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△AFM≌△ADH，得AM=AH，FM=DH，则△MAH是等腰直角三角形，有MH=AH，根据线段的和代入得结论；

（3）根据将线段AE绕点A旋转一定的角度α（0°＜α＜30°）得到线段AE′，先计算当AE旋转时DN的最小值和最大值，当α=0°时，DN最小；当α=180°时，DN最大，分别计算，写出结论．

试题解析：（1）在Rt△EDC中，∵∠EDC=30°，

∴ED=EC=×4=2，cos30°=，

∴DC=ECcos30°=4×=2，

∴AE=2DC﹣ED=4﹣2，

∴=×AE×DC=（4﹣2）×2=12﹣2；

（2）过A作AM⊥AH，交FG于M，

∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=90°，

又∵∠FAD=∠MAD+∠FAM=90°，

∴∠FAM=∠DAH，

∵AF∥CD，

∴∠F=∠FGD

∵DH⊥EG，

∴∠DHE=∠HDG+∠FGD=90°，

∠EDG=∠EDH+∠HDG=90°，

∴∠FGD=∠EDH，

∴∠F=∠EDH，

又∵AF=2CD，AD=2CD，

∴AF=AD，

∴△AFM≌△ADH，

∴AM=AH，FM=DH，

∴△MAH是等腰直角三角形，

∴MH=AH，

∵FH=MH+FM，

∴FH=AH+DH；

（3）∵线段AE绕点A旋转一定的角度α（0°＜α＜306°）得到线段AE′，

∴E′的运动轨迹是一个以点A为圆心半径为4的圆，

当α=0°时，点E′在AD中点，如图3，

∵四边形ABCD为矩形，CD=AE=4，AD=2CD，

∴∠CDE′=90°，DE′=CD=4，

∴△CDE′是等腰三角形，

又∵N是CE′的中点，

∴CE′⊥DN，

此时DN的值最小为2；

当α=180°时，E′在AD的延长线上，DN最长，

过N作CD垂线交CD于点M，

∵DE′=AE′+AD=12，CD=4，

∵MN⊥DC，DE′⊥DC，

∴MN∥DE′，

∴△CDE′∽△CMN，

∴=，

∴MN=6，

则CM=DM=2，

∴在Rt△DMN中，DN==2，

∵0°＜α＜360°

∴2＜DN≤2．