Question

【题目】如图，抛物线y= x2﹣ x+c与y轴交于点A（0，﹣ ），与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，直线l∥AB且过点D．

（1）求AB所在直线的函数表达式；
（2）请你判断△ABD的形状并证明你的结论；
（3）点E在线段AD上运动且与点A、D不重合，点F在直线l上运动，且∠BEF=60°，连接BF，求出△BEF面积的最小值．
解：

Answer 1

【答案】
（1）

解：将A（0，﹣ ）代入抛物线解析式，得c=﹣ ，

∴y= x2﹣ x﹣ ，

当y=0时， x2﹣ x﹣ =0化简，得

x2﹣2x﹣3=0，

∵（x+1）（x﹣3）=0，

∴x1=﹣1，x2=3，

点B（﹣1，0），点C（3，0），

设直线AB的解析式为y=kx+b，将A、B点坐标代入函数解析式，得

，解得 ，

直线AB的解析式为y=﹣ x﹣

（2）

解：△ABD是等边三角形，

∵点B（﹣1，0），点D（1，0），

∴OB=OD=1，

在△BOA和△DOA中， ，

∴△BOA≌△DOA，

∴BA=DA．

tan∠ABO= = = ，

∴∠ABO=60°，

∴△ABD是等边三角形

（3）

如图

，

过点E作EG∥x轴，交AB于点G，

∵△ABD是等边三角形，

∴∠BAD=∠ABD=∠ADB=60°，

∴∠AEG=∠AGE=60°，

∴△AEG是等边三角形，

∴AE=AG，∴DE=BG．

∵AB∥l，

∴∠EDF=∠BGE=120°，

∴∠GBE+∠GEB=60°，∠DEF+∠GEB=60°，

∴∠GBE=∠DEF，

在△BEG和△EFD中 ，

∴△BEG≌△EFD，

∴BE=EF，

∵∠BEF=60°，

∴△BEF是等边三角形，

∴S△BEF= BE2，当BE⊥AD时，BE的长度最小，△BEF的面积最小，

此时BE=ABsin60°= ，

S△BEF最小= BE2=

【解析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得点的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据全等三角形的判定与性质，可得BA与DA，根据正切函数的定义，可得∠ABO，根据等边三角形的判定，可得答案；（3）根据平行线的性质，可得∠AEG=∠AGE=60°，根据全等三角形的判定与性质，可得BE=EF，根据等边三角形的判定，可得△BEF是等边三角形，根据等边三角形的面积，根据垂线段最短，可得BE的长，可得答案．