Question

【题目】在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如，图中过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点．

（1）判断点M（1，2），N（4，4）是否为和谐点，并说明理由；

（2）若和谐点P（a，3）在直线y＝－x＋b（b为常数）上，求a，b的值；

（3）若直线y＝2x＋12上存在和谐点，写出此点的坐标：（ ）.

Answer 1

【答案】（1）M不是和谐点，N是和谐点；（2）a=6，b=9或a=－6，b=－3；（3） 或（-3，6）或（-4，4）.

【解析】试题分析：（1）利用和谐点的定义直接判断得出即可；

（2）利用和谐点的定义，得出3×|a|=2×（|a|＋3），然后通过分类讨论即可得；

（3）分三种情况：点在第一象限，点在第二象限，点在第三象限，按定义进行计算即可得.

试题解析：（1）M不是和谐点，N是和谐点.根据题意，对于M而言，面积为1×2=2，周长为2×（1＋2）=6，所以M不是和谐点，对于N而言，面积为4×4=16，周长为2×（4＋4）=16，所以N是和谐点.

（2）因为P（a，3）是和谐点，所以根据题意得3×|a|=2×（|a|＋3）.

①当a＞0时，3a=2（a＋3），3a=2a＋6，解得a=6，将（6，3）代入y=－x＋b得3=－6＋b，解得b=9.

②当a＜0时，－3a=2（－a＋3），－3a=－2a＋6，解得a=－6，将（－6，3）代入y=－x＋b得3=6＋b，解得b=－3.

所以a=6，b=9或a=－6，b=－3.

（3） 或（-3，6）或（-4，4）.