Question

【题目】在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F．

（1）求证：△FOE≌△DOC；
（2）求sin∠OEF的值；
（3）若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵EF是△OAB的中位线，

∴EF∥AB，EF= AB，

而CD∥AB，CD= AB，

∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，

∴△FOE≌△DOC

（2）

解：∵EF∥AB，

∴∠OEF=∠CAB，

∵在Rt△ABC中，AC= = = BC，

∴sin∠OEF=sin∠CAB= = =

（3）

解：∵AE=OE=OC，EF∥CD，

∴△AEG∽△ACD，

∴ = ，即EG= CD，

同理FH= CD，

∴ = =

【解析】（1）由EF是△OAB的中位线，利用中位线定理，得EF∥AB，EF= AB，又CD∥AB，CD= AB，可得EF=CD，由平行线的性质可证△FOE≌△DOC；（2）由平行线的性质可知∠OEF=∠CAB，利用sin∠OEF=sin∠CAB= ，由勾股定理得出AC与BC的关系，再求正弦值；（3）由（1）可知AE=OE=OC，EF∥CD，则△AEG∽△ACD，利用相似比可得EG= CD，同理得FH= CD，又AB=2CD，代入 中求值．
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和三角形中位线定理的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半才能正确解答此题．