Question

【题目】设函数y=kx2+（2k+1）x+1（k为实数）
（1）写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个特殊函数的图象；
（2）根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明；
（3）对任意负实数k，当x＜m时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如两个函数为y=x+1，y=x2+3x+1，

函数图形如图所示

（2）

解：不论k取何值，函数y=kx2+（2k+1）x+1的图象必过定点（0，1），（﹣2，﹣1），

且与x轴至少有1个交点．证明如下：

将x=0时代入函数中解出y=1，x=﹣2时代入函数中解出y=﹣1．

所以函数的图象必过定点（0，1），（﹣2，﹣1）．

又因为当k=0时，函数y=x+1的图象与x轴有一个交点；

当k≠0时，

∵△=（2k+1）2﹣4k=4k2+1＞0，所以函数图象与x轴有两个交点．

所以函数y=kx2+（2k+1）x+1的图象与x轴至少有1个交点

（3）

解：只要写出m≤﹣1的数都可以．

∵k＜0，

∴函数y=kx2+（2k+1）x+1的图象在对称轴直线x=﹣ 的左侧，y随x的增大而增大．

根据题意，得m≤﹣ ，而当k＜0时，﹣ =﹣1﹣ ＞﹣1，

所以m≤﹣1

【解析】（1）令k=0或1，分别得到两个特殊函数，画出图象即可；（2）猜想：不论k取何值，函数y=kx2+（2k+1）x+1的图象必过定点（0，1），（﹣2，﹣1）．由解析式变形，得y=k（x2+2x）+（x+1），可知当x2+2x=0，即x=0或﹣2时，函数值与k的取值无关，此时y=1或﹣1，可得定点坐标；（3）只求m的一个值即可．当k＜0时，抛物线对称轴为直线x=﹣ ，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，根据题意，得m≤﹣ ，而当k＜0时，﹣ =﹣1﹣ ＞﹣1，可确定m的范围，在范围内取m的一个值即可．
【考点精析】利用一次函数的图象和性质和二次函数的图象对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反；k的绝对值越大,线离横轴就越远；二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点．