Question

【题目】如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y= x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．

（1）求抛物线的解析式；
（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直线y= x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，

∴A（0，﹣3），

∵B（﹣4，﹣5），

∴ ，

∴ ，

∴抛物线解析式为y=x2+ x﹣3，

（2）

解：存在，

设P（m，m2+ m﹣3），（m＜0），

∴D（m， m﹣3），

∴PD=|m2+4m|

∵PD∥AO，

∴当PD=OA=3，故存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，

∴|m2+4m|=3，

①当m2+4m=3时，

∴m1=﹣2﹣ ，m2=﹣2+ （舍），

∴m2+ m﹣3=﹣1﹣ ，

∴P（﹣2﹣ ，﹣1﹣ ），

②当m2+4m=﹣3时，

∴m1=﹣1，m2=﹣3，

(i)m1=﹣1，

∴m2+ m﹣3=﹣ ，

∴P（﹣1，﹣ ），

(ii)m2=﹣3，

∴m2+ m﹣3=﹣ ，

∴P（﹣3，﹣ ），

∴点P的坐标为（﹣2﹣ ，﹣1﹣ ），（﹣1，﹣ ），（﹣3，﹣ ）．

（3）

解：方法一，如图，

∵△PAM为等腰直角三角形，

∴∠BAP=45°，

∵直线AP可以看做是直线AB绕点A逆时针旋转45°所得，

设直线AP解析式为y=kx﹣3，

∵直线AB解析式为y= x﹣3，

∴k= =3，

∴直线AP解析式为y=3x﹣3，

联立 ，

∴x1=0（舍）x2=﹣

当x=﹣ 时，y=﹣ ，

∴P（﹣ ，﹣ ）．

方法二：如图，

∵直线AB解析式为y= x﹣3，

∴直线AB与x轴的交点坐标为E（6，0），

过点A作AF⊥AB交x轴于点F，

∵A（0，﹣3），

∴直线AF解析式为y=﹣2x﹣3，

∴直线AF与x轴的交点为F（﹣ ，0），

∴AE=3 ，AF= ，

过点A作∠EAF的角平分线交x轴于点G，与抛物线相较于点P，过点P作PM⊥AB，

∴∠EAG=45°，

∴∠BAP=45°，

即：△PAM为等腰直角三角形．

设点G（m，0），

∴EG=6﹣m．FG=m+ ，

根据角平分线定理得， ，

∴ ，

∴m=1，

∴G（1，0），

∴直线AG解析式为y=3x﹣3①，

∵抛物线解析式为y=x2+ x﹣3②，

联立①②得，x=0（舍）或x=﹣ ，

∴y=﹣ ，

∴P（﹣ ，﹣ ）．

【解析】（1）先确定出点A坐标，然后用待定系数法求抛物线解析式；（2）先确定出PD=|m2+4m|，当PD=OA=3，故存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，得到|m2+4m|=3，分两种情况进行讨论计算即可；（3）由△PAM为等腰直角三角形，得到∠BAP=45°，从而求出直线AP的解析式，最后求出直线AP和抛物线的交点坐标即可．