Question

【题目】在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩OABC的位置如图所示，点A，C的坐标分别为（10，0），（0，8），点P是y轴上的一个动点，将△OAP沿AP翻折得到：△O′AP，直线BC与直线O′P交于点E，与直线O′A交于点F．

（1）当O′落在直线BC上时，求折痕AP的长．
（2）当点P在y轴正半轴上时，若△PCE与△POA相似，求直线AP的解析式；
（3）在点P的运动过程中，是否存在某一时刻，使得 ？若存在，求点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：图1，当O′落在直线BC上时，在RT△ABO′中，∵AO′=10，AB=8，

∴BO′= = =6，

∵△APO′是由△AOP翻折，

∴可以设PO=PO′=x，

在RT△PCO′中，∵PO′2=PC2+CO′2，

∴x2=（8﹣x）2+42，

∴x=5，

∴AP= = =5

（2）

解：当∠CPE=∠APO时，

∵∠CPE=∠APO=∠APO′=60°，

∴OP= OA= ，

设直线AP为y=kx+b，由题意 解得 ，

∴直线AP为y=﹣ x+ ．

当∠CPE=∠OAP时，∠CEP=∠APO=∠APO′，此时AP∥EC，显然不可能

（3）

解：情形1如图2中，

∵CE= BC=2，

∴BE=8，AE= =8 ，EO′= =2 ，

设OP=x，在RT△PCE中，∵PE2=PC2+CE2，

∴（x﹣2 ）2=（8﹣x）2+22，

∴x= ，此时P[0， ]，

情形2如图3中，

同理O′E=2 ，

设OP=x，在RT△PCE中，∵PE2=PC2+CE2，

∴（x+2 ）2=（8﹣x）2+22，

∴x= ，此时P[0， ]，

情形3如图4中，

AE= = =4 ，

EO′= =6 ，

设OP=x，在RT△PCE中，∵PE2=PC2+CE2，

∴（6 ﹣x）2=（x﹣8）2+22，

∴x= ，此时P[0， ]，

情形4如图5中，

设OP=x，在RT△PCE中，∵PE2=PC2+CE2，

∴（6 ﹣x）2=（x+8）2+22，

∴x= ，此时P[0， ]．

【解析】（1）先在RT△ABO′求出BO′，设PO=PO′=x，在RT△PCO′中利用勾股定理解决即可．（2）当∠CPE=∠APO时得∠CPE=∠APO=∠APO′=60°求出OP= OA即可．当∠CPE=∠OAP时，∠CEP=∠APO=∠APO′，此时AP∥EC，显然不可能．（3）分四种情形讨论，在RT△PCE中利用E2=PC2+CE2列出方程求解 ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的性质的相关知识，掌握对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．