【题目】如果一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，那么称这个三角形为“和谐三角形”．

（1）请用直尺和圆规在图1中画一个以线段AB为一边的“和谐三角形”；

（2）如图2，在△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=，请你判断△ABC是否是“和谐三角形”？证明你的结论；

（3）如图3，已知正方形ABCD的边长为1，动点M，N从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB﹣BC和AD﹣DC向终点C运动，记点M经过的路程为S，当△AMN为“和谐三角形”时，求S的值．

参考答案：

【答案】（1）作图见解析；

（2）△ABC是“和谐三角形”，理由见解析；

（3）当△AMN为“和谐三角形”时，S的值为或.

【解析】解：（1）如图1，

作线段AB的中点O，

②以点O为圆心，AB长为半径画圆，

③在圆O上取一点C（点E、F除外），连接AC、BC．

∴△ABC是所求作的三角形．

（2）如图2，∠C=90°，AB=,BC=

，CD=1，在Rt△BCD中，

，∴中线BD=边AC,

∴△ABC是“和谐三角形”；

（3）易知，点M在AB上时，△AMN是等腰直角三角形，不可能是“和谐三角形”，

当M在BC上时，连接AC交MN于点E，

（Ⅰ）当底边MN的中线AE=MN时，如图，

有题知AC=,MC=2-S，∴MN= (2-s)，CE= (2-S),

∵AE=MN，∴，S=，

（Ⅱ）当腰Am与它的中线NG相等，即AM=GN=AN时，

作NH⊥AM于H，如图

∵NG=NA, NH⊥AM, ∴GH=AH=GN= ,在Rt△NHA中，

在Rt△NHM中，tan∠HMN=;

在Rt△AME中, tan∠AME ; ;

。

综上，S=或时

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