Question

【题目】如图，圆与的斜边相切于点，与直角边相交于两点，连结，已知，圆的半径为6，弧的长度为。

（1）求证：∥；

（2）若，求线段的长度。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）CA=10，CB=30

【解析】试题分析：（1）要证明DE∥BC，可证明∠EDA=∠B，由弧DE的长度为4π，可以求得∠DOE的度数，再根据切线的性质可求得∠EDA的度数，即可证明结论．

（2）根据90°的圆周角对的弦是直径，可以求得EF，的长度，借用勾股定理求得AE与CF的长度，即可得到答案．

试题解析：（1）证明：连接OE，OF，OD

∵圆的半径为6，弧的长度为

∴即∠EOD=n=60°，OD=OE=6

∴△EOD为等边三角形

∴∠OED=∠EDO =∠EOD =60°

∵圆与的斜边相切于点

∴OD⊥AB即∠ODA =90°

∴∠EDA =∠ODA -∠ODE =30°=∠B

∴∥

（2）解：∵∥，∠C =90°∴

∴∠AED =∠C=90°，∠FED =180°-∠C=90°

∴FD为圆的直径，即FD过点O

∴在Rt△EDF中，∠EFD =90°-∠EDF=30°

∴FD=12，EF=6

∴在Rt△AED中，EA=2

∴CE=AF=8

∴CA=AF+AE=10，CB=AC=30