Question

【题目】矩形ABCD的对角线相交于点O，AC=，CD=1，

（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AD于点E，连结CE；

（2）判断线段BE与CE的关系，并证明你的判断．

Answer 1

【答案】（1）作图见解析(2) 证明见解析

【解析】试题分析：（1）根据基本作图——作角的平分线即可；

（2）先根据勾股定理求出AD的长，然后根据角平分线的性质（角平分线上的点到角的两边的距离相等）和判定（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）证出BE=CE.

试题解析：（1）如图所示

(2) BE⊥CE且BE=CE 理由如下：

∵矩形ABCD中，

∴∠BAD=∠ADC =∠ABC= 90°，AB=CD，AD∥BC．

∴在Rt△ADH中，AC=，CD=1，

∴

∵BE平分∠ABC

∴∠ABE=∠EBC= 45°

∵AD∥BC

∴∠AEB=∠EBC

∴∠AEB=∠ABE= 45°

∴AB=AE

∵AB=CD

∴AE=AB=1，DE=AD-AE=1

∴AE=DE

∴△DAB≌△DEB（SAS），

∴BE=CE且∠CED=∠AEB= 45°．

∴∠BED=180°-∠AEB-∠CED = 90°

∴BE⊥CE且BE=CE