Question

【题目】感知：如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，正方形CDEF的顶点D，F分别在边AC，BC上，易证：AD=BF（不需要证明）；

（1）探究：将图①的正方形CDEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），连接AD，BF，其他条件不变，如图②，求证：AD=BF；
（2）应用：若α=45°，CD= ，BE=1，如图③，则BF= ．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图②，

∵四边形CDEF为正方形，

∴CD=CF，

由旋转得：∠ACD=∠BCF，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，

∴AC=BC，

∴△ADC≌△BFC，

∴AD=BF；

（2）
【解析】应用：如图③，∵四边形CDEF为正方形，
∴∠EDC=90°，ED=DC，
∵DC= ，
∴EC= = =2，
∴BC=BE+EC=1+2=3，
∴AC=BC=3，
过D作DG⊥AC于G，
∵α=45°，
即∠ACD=45°，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∴DG=CG=1，
∴AG=BC﹣CG=3﹣1=2，
由勾股定理得：AD= = = ，
同理得：△ADC≌△BFC，
∴BF=AD= ．

【考点精析】通过灵活运用等腰直角三角形和勾股定理的概念，掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此题．