Question

【题目】（9分）如图，△ABC为等腰三角形，AC＝BC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．

（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若BC＝9，EF＝1，求DF的长．

Answer 1

【答案】（1）DF与⊙O相切．证明见解析；（2）2．

【解析】试题分析：(1)、连接OD，根据已知条件得出OD∥AC，从而得出切线；(2)、过点O作OG⊥EC，得出四边形OGFD为矩形，然后根据勾股定理求出OG的长度.

试题解析：（1）DF与⊙O相切．

连接OD． ∵AC＝BC，OB＝OD， ∴∠B＝∠A ∠B＝∠1 ∴∠A＝∠1 ∴OD∥AC．

∵DF⊥AC ∴∠AFD＝90° ∴∠ODF＝∠AFD＝90°

又∵OD是⊙O的半径 ∴DF与⊙O相切．

（2）过O作OG⊥EC交EC于点G．∵∠ODF＝∠AFD＝90° ∴四边形OGFD是矩形．

∴DF＝OG，FG＝OD＝BC＝ ∵OG⊥EC， ∴CG＝EG＝FG－EF＝－1＝．

∴DF＝OG＝＝＝2．