Question

【题目】如图①，△ABC中，AB=AC，点M、N分别是AB、AC上的点，且AM=AN．连接MN、CM、BN，点D、E、F、G分别是BC、MN、BN、CM的中点，连接E、F、D、G．

（l）判断四边形EFDG的形状是　 　（不必证明）；

（2）现将△AMN绕点A旋转一定的角度，其他条件不变（如图②），四边形EFDG的形状是否发生变化？证明你的结论；

（3）如图②，在（2）的情况下，请将△ABC在原有的条件下添加一个条件，使四边形EFDG是正方形．请写出你添加的条件，并在添加条件的基础上证明四边形EFDG是正方形．

Answer 1

【答案】（1）菱形；（2）不变，证明见解析；（3）添加条件：∠BAC=90°，证明见解析.

【解析】

(1) 四边形EFDG是平行四边形, 理由为: 如图1,连接AM,由E、F,G、H分别为中点,利用利用中位线定理得到两组对边相等, 即可得证;

(2) 如图②, 由旋转得∠BAM=∠CAN, △BAM≌△CAN（SAS）, BM=CN，点E、F分别是MN、BN的中点,可得EF∥DG，EF=DG，可得四边形EFDG是平行四边形，可得FD=BM=EF，所以四边形EFDG是菱形;

(3) 设BM与CN交于点P，DF与BM交于点Q，由∠ABM=∠CAN，∠ABC+∠ACB=90°可得∠BPC=90°，∠BQD=90°，∠FDG=90°，所以菱形EFDG是正方形.

解：（1）四边形EFDG是菱形，

∵点D、E、F、G分别是BC、MN、BN、CM的中点，

∴EF是△NBM的中位线，DG是△CBM的中位线，EG是△CMN的中位线，DF是△BCN的中位线，

∴EF=DG=BM，EG=DF=CN，

∵AB=AC，AM=AN，

∴BM=CN，

∴EF=DF=EG=DG，

∴四边形EFDG是菱形，

故答案为：菱形；

（2）不变，

证明：由旋转得∠BAM=∠CAN，

在△BAM和△CAN中，

∵，

∴△BAM≌△CAN（SAS），

∴BM=CN，

∵点E、F分别是MN、BN的中点，

∴EF∥BM，EF=BM，

同理，DG∥BM，DG=BM，FD=CN，

∴EF∥DG，EF=DG，

∴四边形EFDG是平行四边形，

∴EF∥CN，BM=CN，

∴FD=BM=EF，

∴四边形EFDG是菱形；

（3）添加条件：∠BAC=90°，

证明：如图，设BM与CN交于点P，DF与BM交于点Q，

由（2）得∠ABM=∠ACN，

∵∠BAC=90°，

∴∠ABC+∠ACB=90°，

∴（∠ABC﹣∠ABM）+（∠ACB+∠ACN）=90°，即∠PBC+∠PCB=90°，

∴∠BPC=90°，

∵DF∥CN，

∴∠BQD=90°，

∵DG∥BM，

∴∠FDG=90°，

∴菱形EFDG是正方形．