Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2﹣ x﹣ 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．

（1）求直线AE的解析式；
（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；
（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y= x2﹣ x﹣ 沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y= x2﹣ x﹣ ，

∴y= （x+1）（x﹣3）．

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

当x=4时，y= ．

∴E（4， ）．

设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得： ，

解得：k= ，b= ．

∴直线AE的解析式为y= x+ ．

（2）

解：设直线CE的解析式为y=mx﹣ ，将点E的坐标代入得：4m﹣ = ，解得：m= ．

∴直线CE的解析式为y= x﹣ ．

过点P作PF∥y轴，交CE与点F．

设点P的坐标为（x， x2﹣ x﹣ ），则点F（x， x﹣ ），

则FP=（ x﹣ ）﹣（ x2﹣ x﹣ ）= x2+ x．

∴△EPC的面积= ×（ x2+ x）×4=﹣ x2+ x．

∴当x=2时，△EPC的面积最大．

∴P（2，﹣ ）．

如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．

∵K是CB的中点，

∴k（ ，﹣ ）．

∵点H与点K关于CP对称，

∴点H的坐标为（ ，﹣ ）．

∵点G与点K关于CD对称，

∴点G（0，0）．

∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．

当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH．

∴GH= =3．

∴KM+MN+NK的最小值为3．

（3）

解：如图3所示：

∵y′经过点D，y′的顶点为点F，

∴点F（3，﹣ ）．

∵点G为CE的中点，

∴G（2， ）．

∴FG= = ．

∴当FG=FQ时，点Q（3， ），Q′（3， ）．

当GF=GQ时，点F与点Q″关于y= 对称，

∴点Q″（3，2 ）．

当QG=QF时，设点Q1的坐标为（3，a）．

由两点间的距离公式可知：a+ = ，解得：a=﹣ ．

∴点Q1的坐标为（3，﹣ ）．

综上所述，点Q的坐标为（3， ）或′（3， ）或（3，2 ）或（3，﹣ ）．

【解析】（1）抛物线的解析式可变形为y= （x+1）（x﹣3），从而可得到点A和点B的坐标，然后再求得点E的坐标，设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入求得k和b的值，从而得到AE的解析式；（2）设直线CE的解析式为y=mx﹣ ，将点E的坐标代入求得m的值，从而得到直线CE的解析式，过点P作PF∥y轴，交CE与点F．设点P的坐标为（x， x2﹣ x﹣ ），则点F（x， x﹣ ），则FP= x2+ x．由三角形的面积公式得到△EPC的面积=﹣ x2+ x，利用二次函数的性质可求得x的值，从而得到点P的坐标，作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．然后利用轴对称的性质可得到点G和点H的坐标，当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH；（3）由平移后的抛物线经过点D，可得到点F的坐标，利用中点坐标公式可求得点G的坐标，然后分为QG=FG、QG=QF，FQ=FQ三种情况求解即可．