Question

【题目】对于一元二次方程（，，，为常数），下列说法：

①方程的解为；

②若，则方程必有一根为；

③若，则一元二次方程必有一根为；

④若，则方程有两个不等实数根；

⑤若，则方程有两个相等的实数根，

正确的结论是________．

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

有当△=b2-4ac＞0时，方程的解为，由此即可判定说法错误；
②首先把b=a+c变为a-b+c=0，当x=-1时，ax2+bx+c=a-b+c，由此即可判定说法正确；
③首先把b=2a+c变为4a-2b+c=0，当x=-2时，ax2+bx+c=4a-2b+c，由此即可判定说法正确；
④首先由ac＜0，可得方程cx2+bx+a=0是一元二次方程，再根据△=b2-4ac＞0，可得方程cx2+bx+a=0有两个不等实数根，由此即可判定说法正确；
⑤只有当c≠0时，方程cx2+bx+a=0是一元二次方程，若b2-4ac=0，则方程cx2+bx+a=0有两个相等的实数根，由此即可判定说法错误．

①对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数），
当△=b2-4ac＜0时，方程无解；
当△=b2-4ac≥0时，方程的解为，故原说法错误；
②∵b=a+c，
∴a-b+c=0，
∴当x=-1时，ax2+bx+c=a-b+c=0，
∴x=-1为方程ax2+bx+c=0的一根，故原说法正确；
③∵b=2a+ c，
∴4a-2b+c=0，
∴当x=-2时，ax2+bx+c=4a-2b+c=0，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为x=-2，故原说法正确；
④∵ac＜0，
∴c≠0，方程cx2+bx+a=0是一元二次方程，
∵△=b2-4ac＞0，
∴方程cx2+bx+a=0有两个不等实数根，故原说法正确；
⑤当c≠0时，方程cx2+bx+a=0是一元二次方程，若b2-4ac=0，则方程cx2+bx+a=0有两个相等的实数根；
当c=0时，b=0，方程cx2+bx+a=0不可能有两个相等的实数根，故原说法错误．
故答案是：②③④．