Question

【题目】已知抛物线C1：y=﹣ x2+mx+m+ ．
（1）①无论m取何值，抛物线经过定点P；
②随着m的取值变化，顶点M（x，y）随之变化，y是x的函数，则其函数C2关系式为；
（2）如图1，若该抛物线C1与x轴仅有一个公共点，请在图1中画出顶点M满足的函数C2的大致图象，平行于y轴的直线l分别交C1、C2于点A、B，若△PAB为等腰直角三角形，判断直线l满足的条件，并说明理由；

（3）如图2，抛物线C1的顶点M在第二象限，交x轴于另一点C，抛物线上点M与点P之间一点D的横坐标为﹣2，连接PD、CD、CM、DM，若S△PCD=S△MCD ， 求二次函数的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）（﹣1，0）；y=
（2）

解：∵该抛物线C1与x轴仅有一个公共点，

∴△= =0，

m2+2m+1=0，

m1=m2=﹣1，

∴抛物线C1关系式为：y=﹣ ﹣x﹣ =﹣ （x+1）2，

如图1，抛物线C1、C2关于x轴对称，

∵△PAB是等腰直角三角形，

∴PA=PB，PA⊥PB，

∵x轴⊥AB，

∴x轴是AB的垂直平分线，

∴BD=PD，

当直线l在顶点P的右侧时， =x+1，

解得x=1，x=﹣1（不能构成三角形，舍去），

当直线l在顶点P的左侧时，有 =﹣x﹣1，

解得x=﹣3、x=﹣1（不能构成三角形，舍去），

则直线l为：x=1或x=﹣3

（3）

解：如图2，

当x=﹣2时，y=﹣ ×4﹣2m+m+ =﹣m﹣ ，

∴D（﹣2，﹣m﹣ ），

当y=0时，﹣ x2+mx+m+ =0，

x2﹣2mx﹣2m﹣1=0，

解得：x1=1，x2=2m+1，

∴P（﹣1，0），C（2m+1，0），

由（1）得：顶点M[m， （m+1）2]，

过D作DH⊥PC于H，过M作MN⊥PC于N，交CD于T，

则直线CD的解析式为：y= x﹣m﹣ ，

∴T（m，﹣ ﹣ ），

∵S△PCD=S△MCD，

则 PCDH= MTCH，

（﹣1﹣2m﹣1）（﹣m﹣ ）= [ ﹣ ]（﹣2﹣2m﹣1），

（m+1）（2m+3）=﹣ （m+1）（m+2）（2m+3），

（m+1）（2m+3）（m+4）=0，

m1=﹣1，m2=﹣ ，m3=﹣4，

∵抛物线C1的顶点M在第二象限，点D又在点M与点P之间，

∴m1=﹣1，m2=﹣ ，不符合题意，舍去，

∴m=﹣4，

∴y=﹣ x2﹣4x﹣4+ =﹣ x2﹣4x﹣ ，

则二次函数的解析式为：y=﹣ x2﹣4x﹣ ．

【解析】解：（1）①当x=﹣1时，y=﹣ ﹣m+m+ =0，
∴无论m取何值，抛物线经过定点P（﹣1，0）；
y=﹣ x2+mx+m+ =﹣ （x﹣m）2+ m2+m+ ，
顶点坐标为（m， m2+m+ ），
∵顶点M（x，y），y是x的函数，
则其函数C2关系式为：y= = （x+1）2；
所以答案是：①（﹣1，0）；②y= ；
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．