Question

【题目】探索与发现

（1）正方形ABCD中有菱形PEFG，当它们的对角线重合，且点P与点B重合时（如图1），通过观察或测量，猜想线段AE与CG的数量关系，并证明你的猜想；

（2）当（1）中的菱形PEFG沿着正方形ABCD的对角线平移到如图2的位置时，猜想线段AE与CG的数量关系，只写出猜想不需证明.

Answer 1

【答案】（1）结论：AE=CG．理由见解析；（2）结论不变，AE=CG.

【解析】（1）结论AE=CG．只要证明△ABE≌△CBG，即可解决问题．

（2）结论不变，AE=CG．如图2中，连接BG、BE．先证明△BPE≌△BPG，再证明△ABE≌△CBG即可．

（1）结论：AE=CG．理由如下：

如图1，

∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABD=∠CBD，

∵四边形PEFG是菱形，∴BE=BG，∠EBD=∠GBD，∴∠ABE=∠CBG，

在△ABE和△CBG中，

，∴△ABE≌△CBG，∴AE=CG．

（2）结论不变，AE=CG．理由如下：

如图2，连接BG、BE．

∵四边形PEFG是菱形，∴PE=PG，∠FPE=∠FPG，∴∠BPE=∠BPG，

在△BPE和△BPG中，

，∴△BPE≌△BPG，∴BE=BG，∠PBE=∠PBG，

∵∠ABD=∠CBD，∴∠ABE=∠CBG，

在△ABE和△CBG中，

，∴△ABE≌△CBG，∴AE=CG．