Question

【题目】如图①，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，点E是AB边上一动点(不含端点A，B)，连接CE，过点B作CE的垂线交直线CE于点F，交直线CD于点G．

(1)求证：AE＝CG；

(2)若点E运动到线段BD上时(如图②)，试猜想AE，CG的数量关系是否发生变化，请证明你的结论；

(3)过点A作AH⊥CE，垂足为点H，并交CD的延长线于点M(如图③)，找出图中与BE相等的线段，直接写出答案BE=

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）不变，AE＝CG，详见解析；（3）CM

【解析】

（1）如图①，根据等腰直角三角形的性质可以得出∠BCD＝∠ACD＝45°，根据直角三角形的三角形的性质就可以得出∠CBF＝∠ACE，由ASA就可以得出△BCG≌△CAE，就可以得出结论；

（2）如图②，根据等腰直角三角形的性质可以得出∠BCD＝∠ACD＝45°，根据直角三角形的三角形的性质就可以得出∠CBF＝∠ACE，由ASA就可以得出△BCG≌△CAE，就可以得出结论；

（3）如图③，根据等腰直角三角形的性质可以得出∠BCD＝∠ACD＝45°，根据直角三角形的三角形的性质就可以得出∠BCE＝∠CAM，由ASA就可以得出△BCE≌△CAM，就可以得出结论．

(1)证明：∵AC＝BC，

∴∠ABC＝∠CAB．

∵∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝∠A＝45°，∠ACE＋∠BCE＝90°．

∵BF⊥CE，

∴∠BFC＝90°，

∴∠CBF＋∠BCE＝90°，

∴∠ACE＝∠CBF．

∵CD⊥AB，∠ABC＝∠A＝45°，

∴∠BCD＝∠ACD＝45°，

∴∠A＝∠BCD．

在△BCG和△CAE中，

∴△BCG≌△CAE(ASA)，

∴AE＝CG．

（2）解：不变，AE＝CG

理由如下：

∵AC＝BC，

∴∠ABC＝∠A．

∵∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝∠A＝45°，∠ACE＋∠BCE＝90°．

∵BF⊥CE，

∴∠BFC＝90°，

∴∠CBF＋∠BCE＝90°，

∴∠ACE＝∠CBF．

∵CD⊥AB，∠ABC＝∠A＝45°，

∴∠BCD＝∠ACD＝45°，

∴∠A＝∠BCD．

在△BCG和△CAE中，

∴△BCG≌△CAE(ASA)，

∴AE＝CG．

（3）BE＝CM，

理由如下：∵AC＝BC，

∴∠ABC＝∠CAB．

∵∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝∠A＝45°，∠ACE+∠BCE＝90°．

∵AH⊥CE，

∴∠AHC＝90°，

∴∠HAC+∠ACE＝90°，

∴∠BCE＝∠HAC．

∵在RT△ABC中，CD⊥AB，AC＝BC，

∴∠BCD＝∠ACD＝45°

∴∠ACD＝∠ABC．

在△BCE和△CAM中

，

∴△BCE≌△CAM（ASA），

∴BE＝CM，

故答案为：CM．